Abstract: Le varietà algebriche proiettive complesse lisce con curvatura non-negativa (ovvero il cui fibrato delle n-forme olomorfe, dove n è la dimensione complessa, è negativo o banale) tendono a essere "poche" e non-ostruite, ovvero le loro deformazioni sono non-ostruite, o equivalentemente la base della deformazione di Kuranishi è un polidisco (cioè liscia). Nel caso di varietà con curvatura zero (cioè Calabi-Yau) è un risultato di Bogomolov, Tian e Todorov, poi ridimostrato con tecniche algebriche da Ran e Kawamata e infine da Manetti e Iacono. Nel caso di varietà con curvatura positiva (cioè Fano) questo è una conseguenza molto semplice di risultati classici di teoria della deformazione.
Nel mio intervento spiegherò come questi risultati di non-ostruzione diventano falsi nei due seguenti casi: 1) rimuovendo l'ipotesi di liscezza sulla varietà, ovvero considerando varietà singolari, 2) considerando coppie (varietà, divisore anticanonico snc). I controesempi di cui parlerò sono prodotti tramite la geometria torica e quindi alcune di queste proprietà geometriche possono essere lette dalla combinatoria di alcuni politopi. I risultati menzionati sono ottenuti da collaborazioni con Simon Felten, Anne-Sophie Kaloghiros e Sharon Robins.